本ページでは、積 (product) と余積 (coproduct) の概念を導入する。積と余積は、圏における極限と双対性の最も基本的な例の一つである。

積

定義 (積)

$\mathbf{C}$ を圏とする。$\mathbf{C}$ の対象 $A \times B$ と射 $\pi_{1}: A \times B \to A$、$\pi_{2}: A \times B \to B$ の三つ組が $A$ と $B$ の積 (product) であるのは、これが以下の性質を満たすときである：

[積の普遍性] $\mathbf{C}$ の任意の対象 $X$ および射 $x_{1}: X \to A$、$x_{2}: X \to B$ に対して、以下の図式を可換にする（すなわち、$x_{1} = \pi_{1}u$ かつ $x_{2} = \pi_{2}u$ となる）射$u : X \to A \times B$ がただ一つ存在する。

\xymatrix { & X \ar[ld]_{x_{1}} \ar[rd]^{x_{2}} \ar@{.>}[d]_{u} & \\ A & A \times B \ar[l]_{\pi_{1}} \ar[r]^{\pi_{2}} & B \\ }

命題

任意の圏 $\mathbf{C}$ において、積は存在すれば同型を除いて一意である。

つまり、$A$ と $B$ の積が複数存在するならば、それらは同型である（同型射が存在する）という点で、ある意味一意的であると見做せるというのである。

$P$、$p_{1}: P \to A$、$p_{2}: P \to B$ と、$Q$、$q_{1}: Q \to A$、$q_{2}: Q \to B$ はともに $A$ と $B$ の積であるとする。

このとき、 $P$ の積の普遍性から、射 $u : Q \to P$ が存在して $q_{1} = p_{1}u$、$q_{2} = p_{2}u$ である。同様に、$Q$ の積の普遍性から、射 $v : P \to Q$ が存在して $p_{1} = q_{1}v$、$p_{2} = q_{2}v$ である。

\xymatrix { & Q \ar[ld]_{q_{1}} \ar[rd]^{q_{2}} \ar@{.>}@/_/[dd]_{u} & \\ A & & B \\ & P \ar[lu]^{p_{1}} \ar[ru]_{p_{2}} \ar@{.>}@/_/[uu]_{v} & \\ }

われわれは $u$ と $v$ が同型射であることを示せばよい。まず、$u$ と $v$ の性質から

p_{1} = q_{1}v = p_{1}uv \qquad p_{2} = q_{2}v = p_{2}uv

が成り立つ。 $u$ と $v$ の定義から、 $uv$ は $P$、$p_{1}$、$p_{2}$、$Q$、$q_{1}$、$q_{2}$ に対してこの等式を満たすただ一つの射である。一方で、$\mathrm{id}_{P}$ も $p_{1} = p_{1} \circ \mathrm{id}_{P}$ および $p_{2} = p_{2} \circ \mathrm{id}_{P}$ を満たすが、$uv$ の一意性によりこのような射はただ一つしか存在しないため、$uv = \mathrm{id}_{P}$ となる。

同様にして、$vu = \mathrm{id}_{Q}$ であるため、$u$ と $v$ は同型射、すなわち、$P \cong Q$ である。 $\Box$

例 ($\mathbf{Set}$における積)

(1) 圏 $\mathbf{Set}$ において、通常の集合のデカルト積

A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \}

は圏論的な意味でも積である：

デカルト積 $A \times B$ から集合 $A, B$ には、標準射影 (projection)

\begin{align} \pi_{1} : A \times B \to A \qquad (a, b) \mapsto a \\ \pi_{2} : A \times B \to B \qquad (a, b) \mapsto b \end{align}

が存在し、また集合 $X$ および写像 $f : X \to A, g : X \to B$ が存在するならば、$u : X \to A \times B$ を

u : X \to A \times B \qquad x \mapsto (f(x), g(x))

とすれば、任意の $x \in X$ に対して $f(x) = \pi_{1}(u(x))$ かつ $g(x) = \pi_{2}(u(x))$ である。このような写像は $u$ 以外には存在しない。（そのような写像がもし $u$ 以外に存在するなら、それは $u$ と外延的に異なる $X$ から $A \times B$ への写像を考えることと等しい。）ゆえに $u$ は一意である。 $\Box$

(2) たとえば、以下のように非標準的に定義された直積

A * B = \{ (\{ a \}, \{b \}) \mid a \in A, b \in B \}

および射影

\begin{align} \pi^{*}_{1} : A * B \to A \qquad (\{ a \}, \{ b\}) \mapsto a \\ \pi^{*}_{2} : A * B \to B \qquad (\{ a \}, \{ b\}) \mapsto b \end{align}

もまた圏論的な意味では積である。このとき、$f : A \times B \to A * B$ を

f : A \times B \to A * B \qquad (a, b) \mapsto (\{ a \}, \{ b\})

とすれば、$f$ は全単射であり、ゆえに $A \times B \cong A * B$ である。 $\Box$

余積

定義 (余積)

$\mathbf{C}$ を圏とする。$\mathbf{C}$ の対象 $A + B$ と射 $\iota_{1}: A \to A + B$、$\iota_{2}: B \to A + B$ の三つ組が $A$ と $B$ の余積 (coproduct) であるのは、これが以下の性質を満たすときである：

[余積の普遍性] $\mathbf{C}$ の任意の対象 $X$ および射 $x_{1}: A \to X$、$x_{2}: B \to X$ に対して、以下の図式を可換にする（すなわち、$x_{1} = u \iota_{1}$ かつ $x_{2} = u \iota_{2}$ となる）射$u : A + B \to X$ がただ一つ存在する。

\xymatrix { A \ar[r]^{\iota_{1}} \ar[dr]_{x_{1}} & A + B \ar@{.>}[d]_{u} & B \ar[l]_{\iota_{2}} \ar[dl]^{x_{2}} \\ & X & \\ }

積の場合と同様に、余積の場合も以下が成り立つ。

命題

任意の圏 $\mathbf{C}$ において、余積は存在すれば同型を除いて一意である。

例 ($\mathbf{Set}$における余積)

(1) 圏 $\mathbf{Set}$ において、集合の非交和 (disjoint union)

A \sqcup B = \{ (a, 1) \mid a \in A \} \cup \{ (b, 2) \mid b \in B \}

は圏論的な意味での余積である：

この場合、集合 $A, B$ から非交和 $A \sqcup B$ への入射は

\begin{align} \iota_{1} : A \to A \sqcup B \qquad a \mapsto (a, 1) \\ \iota_{2} : B \to A \sqcup B \qquad b \mapsto (b, 2) \end{align}

であり、また集合 $X$ に対して $f : A \to X, g : B \to X$ が存在するならば、$u : A \sqcup B \to X$ を

u : A \sqcup B \to X \qquad (*, i) \mapsto \begin{cases} f(*) \quad (i = 1) \\ g(*) \quad (i = 2) \end{cases}

とすれば、任意の $a \in A$ に対して $f(a) = u(\iota_{1}(a))$、かつ任意の $b \in B$ に対して $g(b) = u(\iota_{2}(b))$ である。 $\Box$

参考文献

[1] Steve Awodey, 2010. Category Theory. Second Edition. Oxford University Press.